南京大学数学课件_3_1

发布于:2021-10-14 08:48:21

第三节 定积分的若干应用
一、 *面图形的面积 二、 旋转体的体积 三、 曲线的弧长 四、旋转体的侧面积

第三章

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1、什么问题可以用定积分解决 ?
1) 所求量 U 是与区间[a , b]上的某分布 f (x) 有关的 一个整体量 ; 2) U 对区间 [a , b] 具有可加性 , 即可通过 “大化小, 常代变, *似和, 取极限” 表示为 U ? lim ? f (? i ) ?xi
? ?0 i ?1
b n

定积分定义

f (? i )?xi ? ?a f ( x) dx ? ?lim ?0
i ?1
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n

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2 、如何应用定积分解决问题 ?
第一步 利用“化整为零 , 以常代变” 求出局部量的 微元 微分表达式 *似值

d U ? f ( x ) dx
精确值 积分表达式

?U 的线性主部

第二步 利用“ 积零为整 , 无限累加 ” 求出整体量的

U ? ? a f ( x ) dx
这种分析方法成为微元法 (或微元分析法) 元素的几何形状常取为: 条, 带, 段, 环, 扇, 片, 壳 等
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b

一、*面图形的面积
1. 直角坐标情形 设曲线 y ? f ( x) (? 0) 与直线

y

y ? f ( x)

x ? a , x ? b (a ? b) 及 x 轴所围曲
边梯形面积为 A , 则

o a x

d A ? f ( x ) dx

x ? dx

b x

A ? ? f ( x ) dx
a

b

y y ? f1 ( x) y ? f 2 ( x)

右下图所示图形面积为

A ? ? f1 ( x) ? f 2 ( x) dx
a
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b

o

axx?dx
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b x
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例1. 计算两条抛物线 所围图形的面积 . 解: 由

y ? x , y ? x 在第一象限所围

2

2

y2 ? x y ? x2

y
y2 ? x
2

得交点 (0 , 0) , (1, 1)

(1,1)

? Ad?A ?0?

1

?

x ? x dx
o

?

y ? x2
x 1 x ?d x

1 2 3 1 3 ? ? x2 ? x ? 3 3 0 1 ? 3
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x

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2 y 例2. 计算抛物线 ? 2 x 与直线 y ? x ? 4 所围图形

的面积 .

y 2 ? 2 x 得交点 解: 由 y ? x?4 (2 , ? 2) , (8 , 4)

y

y?d y y
o

y 2 ? 2x

(8 , 4)

为简便计算, 选取 y 作积分变量, 则有
1 y 2 ) dy ? ( y ? 4 ? ? Ad ?A ? 2
?2 4

y ? x?4
( 2 , ? 2)

x

??

1 2

3 4 ? 18 1 ? 4 y y ? 6 y ? ?2 2
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x2 y2 ? 2 ? 1 所围图形的面积 . 例3. 求椭圆 2 a b y 有 解: 利用对称性 , d A ? y dx b
利用椭圆的参数方程 ? x ? a cos t (0 ? t ? 2? ) ? y ? b sin t ? 应用定积分换元法得

A ? 4? y d x
0

a

o xx?dx a x

A ? 4 ??

0

? 4 a b ? 1 ? ? ? ? ab
2 2
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2

2 2 ? 4 a b sin t dt b sin t ? ( ? a sin t ) dt ? 0

?

当 a = b 时得圆面积公式
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一般地 , 当曲边梯形的曲边由参数方程

? x ? ? (t ) ? y ? ? (t ) ? 给出时, 按顺时针方向规定起点和终点的参数值 t1 , t 2 y y a b o x 边界看成 b x 封闭曲线 o a (t1 对应 x ? a ) (t1 对应 x ? b)
则曲边梯形面积 A ? ? ? (t ) ? ? ?(t ) dt
t1
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t2

例4. 求由摆线 x ? a (t ? sin t ) , y ? a (1 ? cos t ) ( a ? 0) 的一拱与 x 轴所围*面图形的面积 . 解: AdA ? ?? a (1 ? cos t ) ? a (1 ? cos t ) d t 0
2?
2 2? a (1 ? cos t ) 2 0 2 2? 4 t

?

?
2

dt

y
o
2? a x

? 4a ? 8a

?0
2

?0
2

?

2 sin 4 u d u
?
2

sin

dt

t (令 u ? ) 2

? 16 a

3 1 ? ? 16a ? ? ? ? 3? a 2 4 2 2
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?0

sin u d u

4

2. 极坐标情形

设 ? (? ) ? C[? , ? ] , ? (? ) ? 0 , 求由曲线 r ? ? (? ) 及
射线 ? ? ? , ? ? ? 围成的曲边扇形的面积 . 在区间[? , ? ] 上任取小区间 [? ,? ? d? ]
则对应该小区间上曲边扇形面积的*似值为

1 d A ? ?? (? )? 2 d ? 2 所求曲边扇形的面积为 1 ? 2 A ? ? ? (? ) d ? 2 ?
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r ? ? (? )
d?

?

? ?
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x
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例5. 计算阿基米德螺线 r ? a? (a ? 0) 对应 ? 从 0 变 到 2? 所围图形面积 .

1 2 (a? ) d? 解: A ? ? 0 2 a 2 ?1 3 ? 2? ? ? ?3 ? 2 ? ?0 4 3 2 ? ? a 3
2?

?
o
d?

2? a x

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例6. 计算心形线 r ? a(1 ? cos? ) ( a ? 0) 所围图形的 面积 . 解: A ? 2 ?
?
0

?

4? 2 ? a 4 cos 0 2

1 2 a (1 ? cos? ) 2 d? 2 d?

(利用对称性)

?

d?

令t ? ? 2
? 8a 2 ? 2 cos 4t dt
0
?

o

?

2a x

3 1 ? 3 2 ? 8a ? ? ? ? ? a 4 2 2 2
2
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例7. 计算心形线 r ? a(1 ? cos? ) ( a ? 0) 与圆 r ? a 所围图形的面积 . 1 ? 2 cos? ? cos 2 ? 1 (1 ? cos 2? ) 解: 利用对称性 , 所求面积 2 ?1 2 1 2 A ? ? a ? 2 ? ? a (1 ? cos? ) 2 d? 2 2 2 ? 3 1 1 2 2 ? ? a ? a ? ? ( ? 2 cos? ? cos 2? ) d ? 2 2 2 2 y 1 2 2 3 ? ? a ? a ( ? ? 2) 4 2 o a 2a x 5 2 ? ? a ? 2a 2 4
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例8. 求双纽线 r 2 ? a 2 cos 2? 所围图形面积 . 解: 利用对称性 , 则所求面积为

A ? 4?

?

4

0

? a 2 ? 4 cos 2? d (2? )
0

?

1 2 a cos2? d ? 2
?

y
o

? ?? 4
a x

? a 2 ?sin 2? ? 4 ? a 2
0

? ? ?? 4

思考: 用定积分表示该双纽线与圆 r ? a 2 sin ? 所围公共部分的面积 . 答案: A ? 2 ? ? 0
?
6

1 2 a sin ? d ? ? ?? a cos 2? d ? 6 2
2 2
4
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?

?
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二、旋转体的体积
设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x), A( x)在[a, b] 上连续, 则对应于小区间[ x , x ? dx] 的体积元素为

d V ? A( x) d x 因此所求立体体积为 V ? ? A( x) d x
a b

A( x) x x ? dx
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a
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b
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x
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特别 , 当考虑连续曲线段 y ? f ( x) (a ? x ? b) 绕 x 轴 轴旋转一周围成的立体体积时, 有
b

V ? ? ? [ f ( x)]2 dx
a

y o a

y ? f ( x)
x

当考虑连续曲线段

b

x

x ? ? ( y ) (c ? y ? d )
绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时, 有

y

d y

V ? ? ? [? ( y )] d y
c
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d

2

x ? ? ( y)

c
o
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x
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x2 y2 例9. 计算由椭圆 2 ? 2 ? 1 所围图形绕 x 轴旋转而 a b 转而成的椭球体的体积. y b 解: 方法1 利用直角坐标方程 b 2 o x a 2 x y? a ? x (?a ? x ? a) a


V ? 2 ? ? y dx
2 0

a

(利用对称性)

b2 a 2 ? 2? 2 ? (a ? x 2 ) dx a 0 b2 ? 2 1 3 ? a 4 ? 2? 2 ?a x ? x ? ? ? ab 2 3 ?0 3 a ?
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方法2 利用椭圆参数方程

? x ? a cos t ? ? y ? b sin t

a

V ? 2 ? ? y 2 dx ? 2? ? 2 ab 2 sin 3t d t 0 0 2 2 ? 2? ab ? ?1 3 4 ? ? ab 2 3

?

4 3 特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积 ? a . 3
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x ? a (t ? sin t ) (a ? 0) 的一拱与 y=0 ? 例10. 计算摆线 ? ? y ? a (1 ? cos t ) 所围成的图形分别绕 x 轴 , y 轴旋转而成的立体体积 .
解: 绕 x 轴旋转而成的体积为
y

Vx ? ?

2? a 0

? y dx
a 2 (1 ? cos t ) 2 ? a (1 ? cos t ) d t

2

y
o

??

?0

2?

?a

2? a x

利用对称性

? 2?

3 ? a 0

?

(1 ? cos t ) d t ? 16?
3

3

? 32? a 3 2 sin 6 u d u ? 32? 0 2 3 ? 5? a
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?

?

5 3 1 ? a ? ? ? ? 6 4 2 2
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3 ? a sin 6 0

?

t t d t (令 u ? ) 2 2

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? x ? a (t ? sin t ) ( a ? 0) ? ? y ? a (1 ? cos t )
绕 y 轴旋转而成的体积为
2a 2a 0 0

2a
o

y

x ? x2 ( y ) x ? x1 ( y )

?a

2? a x

2 2 ( y ) d y ? ? ? x1 ( y) d y V y ? ? ? x2

0 3 2? ? ?? a ? (t ? sin t ) 2 sin td t
0

? 2 注意上下限 ! ? ? ? a (t ? sin t ) 2 ? a sin t d t 2? ? 2 2 ? ? ? a (t ? sin t ) ? a sin t d t

? 6? 3 a 3 注
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说明: V y 也可按柱壳法求出

y x x?dx
柱面面积 2? x ? y
2? a 0

? x ? a (t ? sin t ) ? y ? a (1 ? cos t ) ? 2? a
柱壳体积 2? x y ? dx

V y ? 2? ?

x ydx

2? ? 2? a (t ? sin t ) ? a 2(1 ? cos t )2 d t 0

?

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Vy ? ? ? 2? ?

2? 0

a (t ? sin t ) ? a 2 (1 ? cos t ) 2 d t
4

t ? 8? ? (t ? sin t ) sin d t 2 t 令u ? 2
3 2? a 0

? 16?

3 ? a 0

?

(2u ? sin 2u ) sin 4 u d u

2 3 3 4 ? 6 ? a ? 16? a 3 ? 2 ( 2 v ? ? ? sin 2 v ) cos v d v ?
?

令v ? u ?
?
2

?

奇函数

偶函数

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例11. 设 y ? f ( x) 在 x≥0 时为连续的非负函数, 且

f (0) ? 0 , V (t ) 表示 y ? f ( x) , x ? t (? 0) 及 x 轴所围图
形绕直线 x=t 旋转一周所成旋转体体积 , 证明: y V ??(t ) ? 2? f (t ) . f ( x) 证: 利用柱壳法

d V ? 2? (t ? x) f ( x) d x


V (t ) ? ? 2 ? (t ? x) f ( x) d x
0

t

o
t
0

x

? 2? t ? f ( x) d x? 2? ? x f ( x) d x
0 t

t

x t x?dx



V ?(t ) ? 2? ? f ( x) d x ? 2? t f (t ) ? 2? t f (t )
0

V ??(t ) ? 2? f (t )
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例12. 一*面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心 , 并 与底面交成 ? 角, 计算该*面截圆柱体所得立体的体积 . 解: 如图所示取坐标系, 则圆的方程为

x ?y ?R 垂直于x 轴 的截面是直角三角形, 其面积为 1 2 A( x) ? ( R ? x 2 ) tan ? (? R ? x ? R ) 2 利用对称性 R1 V ? 2 ? ( R 2 ? x 2 ) tan ? d x 0 2 1 3 R 2 3 2 ? tan ? ? R x ? x ? ? R tan ? 0 3 3
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2

2

2

ox

??
R

y

x

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思考: 可否选择 y 作积分变量 ? 此时截面面积函数是什么 ? 如何用定积分表示体积 ? 提示:

?

y

A( y ) ? 2 x ? y tan ? ? 2 tan ? ? y R 2 ? y 2 V ? 2 tan ? ? ? y R ? y d y
2 2 0
R

o

( x, y ) R x

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x2 y2 z 2 例13. 计算由曲面 2 ? 2 ? 2 ? 1 所围立体(椭球体) a b c z 的体积. c 解: 垂直 x 轴的截面是椭圆 o y
2 2

b (1 ?

a2

x2

) c (1 ?

?

z
2

2

a2
x2 a
2

x2

)

?1

x

xa

b

它的面积为 A( x) ? ? bc(1 ? 因此椭球体体积为
a x2

) (?a ? x ? a)

y

3 a 4 x V ? 2 ? ? bc(1 ? 2 ) d x ? 2? bc ? x ? ? ? ? abc 2 0 a 3a 0 3 特别当 a = b = c 时就是球体体积 .
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例14. 求曲线 y ? 3 ? x 2 ? 1 与 x 轴围成的封闭图形 绕直线 y=3 旋转得的旋转体体积. 解: 利用对称性 , 在第一象限 2 x ? 2, 0 ? x ? 1 ? y?? ? 4 ? x2 , 1 ? x ? 2 故旋转体体积为

y B 3
A C 1 2x

V ? ? ? 32 ? 4 ? 2 ? ? [3 ? ( x 2 ? 2)]2 d x
? 2 ? ? [3 ? (4 ? x 2 )]2 d x
1 0 2
2 1

1

o

448 2 2 ? ( x ? 1) 2 d x ? 36? ? 2 ? ? (1 x?? x1) d x ? ? 2? ? 0 0 15 1
2 2 2 2
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三、曲线的弧长
定义: 若在弧 AB 上任意作内接折线 , 当折线段的最大 边长 ?→0 时, 折线的长度趋向于一个确定的极限 , 则称 此极限为曲线弧 AB 的弧长 , 即
n

y

M i ?1

Mi

s ? lim ? M i ?1M i ? ?0
i ?1

并称此曲线弧为可求长的.

A? M0

B ? Mn
x

o
(证明略)

定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的.

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(1) 曲线弧由直角坐标方程给出:

y ? f ( x ) ( a ? x ? b)
弧长元素(弧微分) :
y
y ? f ( x)

ds ? (dx) ? (d y )
2 ? ? 1? y dx

2

2

ds

因此所求弧长

s??

b b

a a

2 ? 1 ? y dx

o a

xx?dx b x

? ? 1 ? f ?2 ( x) d x
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(2) 曲线弧由参数方程给出:

? x ? ? (t ) (? ? t ? ? ) ? y ? ? (t ) ? 弧长元素(弧微分) :
ds ? (dx) 2 ? (d y ) 2
2 2 ? ? ? ? (t ) ? ? (t ) d t

因此所求弧长

s??

?

?

2 2 ? ? ? (t ) ? ? (t ) d t

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(3) 曲线弧由极坐标方程给出: r ? r (? ) (? ? ? ? ? )

令 x ? r (? ) cos? , y ? r (? ) sin ? , 则得
弧长元素(弧微分) :

ds ? [ x?(? )]2 ? [ y ?(? )]2 d ?
? r 2 (? ) ? r ? 2 (? ) d?
因此所求弧长

s??

?

?

r 2 (? ) ? r ?2 (? ) d?

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例15. 两根电线杆之间的电线, 由于其本身的重量, 下垂 y 成悬链线 . 悬链线方程为 c x y ? c ch (?b ? x ? b) c ?b o b x 求这一段弧长 . 解:
2 ? ds ? 1 ? y d x x 2 x ? 1 ? sh dx ? ch dx c c b x x? b ? ? s ? 2 ? ch dx ? 2c sh ? c? 0 c ? ?0 x b 1 x 2c sh (? )? ? c ? sh c ch c c c c
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e x ? e? x ch x ? 2 e x ? e? x sh x ? 2 (ch x)? ? sh x
(sh x)? ? ch x

例16. 求连续曲线段 y ? ?

x ??

cos t d t 的弧长.

? 解: ? cos x ? 0 , ? ? ? ? x ? 2 2

2

s ? ? 2?
?

?

1 ? y?2 d x

2

? 2 ? 2 1 ? ( cos x ) 2 d x ? 2?
0 ? 0
2

?

x 2 cos d x 2
?

x ?2 ? 2 2 ?2 sin 2 0 ?4
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x ? a (t ? sin t ) (a ? 0) 一拱 (0 ? t ? 2? ) 例17. 计算摆线 ? ? y ? a (1 ? cos t ) ? y 的弧长 .
解: ds ?
x 2 (d ) dt 2 dy 2 ? (d t ) 2

dt
2 2

o

2? a x

? a (1 ? cos t ) ? a sin t d t

? a 2(1 ? cos t ) d t t ? 2a sin dt 2 2? t t ? 2? ? ? s ? ? 2a sin d t ? 2a ? 2 cos ? 8 a ? ? 0 2 2? 0 ?
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例18. 求阿基米德螺线 r ? a? (a ? 0) 相应于 0≤?≤2? 一段的弧长 . 解: d s ? r 2 (? ) ? r ? 2 (? ) d?
o

2? a x

? a 2? 2 ? a 2 d ?

? a 1 ? ? 2 d? ? s ? a?
2? 0

r ? a?

1 ? ? 2 d?

? ? 2 ? 2? 2 1 ? a ? 1 ? ? ? ln ? ? 1 ? ? ? 2 ?0 ?2 a 2 ? a? 1 ? 4? ? ln(2? ? 1 ? 4? 2 ) 2
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四、旋转体的侧面积
设*面光滑曲线 y ? f ( x) ? C 1[a, b] , 且 f ( x) ? 0 , 求 它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积 . 取侧面积元素: 位于 [ x , x ? dx] 上的圆台的侧面积

d S ? 2? y d s ? 2? f ( x) 1 ? f ? ( x) dx
2

y y o a a o

y ? f ( x)
x

积分后得旋转体的侧面积

b b

x x

S ? 2? ? f ( x) 1 ? f ? 2 ( x) dx
a
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b

注意: 侧面积元素

d S ? 2? y ds ? 2? y dx
因为2? y dx 不是薄片侧面积△S 的 的线性主部 .

y o a

y ? f ( x)
x

b

x

若光滑曲线由参数方程 ? x ? ? (t ) (? ? t ? ? ) ? y ? ? (t ) ? 给出, 则它绕 x 轴旋转一周所得旋转体的 侧面积为

ds dx

S ? ? 2?? (t ) ? ? 2 (t ) ? ? ? 2 (t ) d t ?
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?

例19. 计算圆 x 2 ? y 2 ? R 2 在 x ? [ x1 , x2 ] ? [? R , R ] 上绕 y x 轴旋转一周所得的球台的侧面积 S . 解: 对曲线弧

y ? R ? x , x ? [ x1 , x2 ]
应用公式得

2

2

x1 o
2

x2 R x

S ? 2? ?

x2

x1 x2

? R2 ? x2 ? 1 ? ? ? 2 2 ? dx ? R ?x ?

?x

y o x
z

? 2? ? R dx ? 2? R ( x2 ? x1 )
x1

当球台高 h=2R 时, 得球的表面积公式

S ? 4? R

2
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3 3 x ? a cos t , y ? a sin t 绕 x 轴旋转 例20. 求由星形线 一周所得的旋转体的表面积 S . 解: 利用对称性

S ? 2 ? 2? ? 2 a sin 3 t
0

?

?

? ? 3a cos t sin t ? ? ? 3a sin t cos t ? d t
2 2 2 2
?

? 12? a 2 ? 2 sin 4 t cos t d t
0 2 ? 12? a ? sin 5 t ? ? ?5 ?0 12 2 ? ?a 5
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2 ?1

?

内容小结
1. *面图形的面积 直角坐标方程
t2
1

上下限按顺时针方向 确定

边界方程 参数方程 A ? ?t ? (t ) ? ? ?(t ) d t
? 2 1 极坐标方程 A ? ? ? (? ) d ? 2 ? 2. *面曲线的弧长 弧微分: d s ? (d x) 2 ? (d y ) 2 注意: 求弧长时积分上

直角坐标方程 曲线方程 参数方程方程 极坐标方程 d s ? r 2 (? ) ? r ? 2 (? ) d ?
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下限必须上大下小

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3. 已知*行截面面面积函数的立体体积

V ? ? A( x) d x
a

b

旋转体的体积

y ? y ( x)

绕 x 轴 : A( x) ? ? y 2 绕 y 轴 : A( x) ? 2? x y
(柱壳法)

4. 旋转体的侧面积

y ? y ( x) 绕 x 轴旋转 , 侧面积元素为 d S ? 2? y d s
(注意在不同坐标系下 ds 的表达式)
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作业

p.204 *题3.3 1.(3)(4); 3. (2)(4); 4. 6.(2) 7. 14.(2)(3) 15. (2)(4)
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